Rationale Funktionen Polstellen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> ist für <math> x = 0 </math> nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von <math>0</math>? Je kleiner <math>x</math> betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von <math>\frac{1}{x}</math>. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.
 
Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> ist für <math> x = 0 </math> nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von <math>0</math>? Je kleiner <math>x</math> betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von <math>\frac{1}{x}</math>. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.
  
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1. Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 1. Ordnung (<math>0</math> ist einfache Nullstelle des Nenners).  
 
1. Die Funktion <math>f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 1. Ordnung (<math>0</math> ist einfache Nullstelle des Nenners).  
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Nähert man sich von links an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>-\infty</math>; nähert man sich von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>\infty</math>. <math>f</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle mit Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
 
Nähert man sich von links an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>-\infty</math>; nähert man sich von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte nach <math>\infty</math>. <math>f</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle mit Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
  
 
2. Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 2. Ordnung (<math>0</math> ist zweifache Nullstelle des Nenners).  
 
2. Die Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> hat für <math> x = 0 </math> einen Pol 2. Ordnung (<math>0</math> ist zweifache Nullstelle des Nenners).  
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Nähert man sich von links oder von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math> oder <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach <math>\infty</math>. <math>g</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle ohne Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
 
Nähert man sich von links oder von rechts an, also <math> x \rightarrow 0</math> mit <math>x<0</math> oder <math>x>0</math>, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach <math>\infty</math>. <math>g</math> hat an <math> x = 0</math> eine '''Polstelle ohne Vorzeichenwechsel'''. Die Gerade <math>x = 0</math> ist senkrechte Asymptote des Graphen von <math>f</math>.
  

Aktuelle Version vom 21. September 2017, 13:49 Uhr

Einführung und Definition - Indirekte Proportionalität- Definitionsmenge - Nullstellen - hebbare Definitionslücken - Einfluss der Parameter - Polstellen - senkrechte Asymptoten - Asymptoten für x gegen unendlich

Die Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x} ist für x = 0 nicht definiert. Wie verhält sie sich in der Umgebung von 0? Je kleiner x betragsmäßig wird, desto größer wird der Betrag von \frac{1}{x}. Zeigt eine Funktion für einen x-Wert ein solches Verhalten, dann ist der x-Wert eine Definitionslücke und man bezeichnet diese Stelle als Polstelle.

Nuvola apps kig.png   Merke

Ist an einer Definitionslücke x_0 einer gebrochen-rationalen Funktion f

\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty,

dann ist die Definitionslücke x_0 eine Polstelle von f.

Beispiele:

1. Die Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x} hat für x = 0 einen Pol 1. Ordnung (0 ist einfache Nullstelle des Nenners).

Indirekte proportionalität.jpg

Nähert man sich von links an, also x \rightarrow 0 mit x<0, dann streben die Funktionswerte nach -\infty; nähert man sich von rechts an, also x \rightarrow 0 mit x>0, dann streben die Funktionswerte nach \infty. f hat an x = 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die Gerade x = 0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

2. Die Funktion g: x \rightarrow \frac{1}{x^2} hat für x = 0 einen Pol 2. Ordnung (0 ist zweifache Nullstelle des Nenners).

1 durch x^2.jpg

Nähert man sich von links oder von rechts an, also x \rightarrow 0 mit x<0 oder x>0, dann streben die Funktionswerte in beiden Fällen nach \infty. g hat an x = 0 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Die Gerade x = 0 ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Ermittle bei den gegebenen Funktionen jeweils die Polstelle(n) der Funktion und beschreibe das Vorzeichenverhalten der Funktion bei Annäherung an die Polstelle(n).

a) f mit f(x) = \frac{1}{x-2}

b) g mit g(x) = \frac{1}{2-x}

c) h mit h(x) = \frac{1}{(x-2)^2}

d) k mit k(x) = \frac{1}{(x-3)^7}

e) l mit l(x) = \frac{1}{(x-3)(x+2)}

f) m mit m(x) = \frac{1}{(x-3)}+ \frac{1}{x}


a) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): f(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>2): f(x) \rightarrow \infty

b) x = 2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): g(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>2): g(x) \rightarrow -\infty

c) x = 2; Pol 2. Ordnung; Pol ohne Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<2): h(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>2): h(x) \rightarrow \infty

d) x = 3; Pol 7. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): k(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): k(x) \rightarrow \infty

e) x = -2; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): l(x) \rightarrow \infty; Annäherung von rechts (x>-2): f(x) \rightarrow -\infty

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): f(x) \rightarrow \infty

e) x = 0; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<-2): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>-2): f(x) \rightarrow \infty

x = 3; Pol 1. Ordnung; Pol mit Vorzeichenwechsel; Annäherung von links (x<3): l(x) \rightarrow -\infty; Annäherung von rechts (x>3): f(x) \rightarrow \infty


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!

f(x) = \frac{x-12}{2x} x = 0
f(x) = \frac{2x-6}{5} keine Polstelle
f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x} x_1 = 0; x_2 = 2
f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1} x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}
f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x} x_1 = -2; x_2 = 0
f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64} x_1 = -8; x_2 = 8


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Im folgenden Applet kannst du mit dem Schieberegler die Potenz n des Nenners der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} ändern. Beachte den Verlauf des Graphen bei geraden n und bei ungeraden n. Formuliere deine Beobachtung.

Beschreibe, was du mit dem Schieberegler für x_0 änderst.

Nuvola apps kig.png   Merke

Man kann allgemein für eine gebrochen-rationale Funktion f mit f(x)=\frac{1}{(x-x_0)^n} formulieren:

Ist n gerade, dann hat die Funktion f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} mit D = R \backslash \{x_0\} an der Stelle x = x_0 einen Pol ohne Vorzeichenwechsel. x_0 ist ein Pol gerader Ordnung.

Ist n ungerade, dann hat die Funktion f:x\rightarrow \frac{1}{(x-x_0)^n} mit D = R\backslash \{x_0\} an der Stelle x = x_0 einen Pol mit Vorzeichenwechsel. x_0 ist ein Pol ungerader Ordnung.

Die Ordnung der Polstelle x_0 ist die Zahl die angibt wie oft x_0 Nullstelle des Nenners (des gekürzten Bruches) ist.

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