Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-1}{x^2+x-2}</math> ist an den Nullstellen des Nenners <math>n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math>, also für <math>x \not= -2; 1</math> nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm <math>\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}</math> so ist der gekürzte Term <math>\frac{1}{x+2}</math> für <math>x = 1</math> erklärt mit dem Wert <math>\frac{1}{3}</math>. Man sagt, dass <math>x=1</math> eine hebbare Definitionslücke ist.
 
Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-1}{x^2+x-2}</math> ist an den Nullstellen des Nenners <math>n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math>, also für <math>x \not= -2; 1</math> nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm <math>\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}</math> so ist der gekürzte Term <math>\frac{1}{x+2}</math> für <math>x = 1</math> erklärt mit dem Wert <math>\frac{1}{3}</math>. Man sagt, dass <math>x=1</math> eine hebbare Definitionslücke ist.
  
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Die neue Funktion <math>\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}</math> ist für <math> x = 1 </math> mit dem Funktiionswert <math>\tilde f(1) = \frac{1}{3}</math> definiert. Man kann also die Funktion <math> f</math> in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von <math>\tilde f(1)=\frac{1}{3}</math>, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt. Die Funktion <math>\tilde f</math> ist identisch mit der Funktion <math>f</math>, nur dass sie auch noch für <math>x=1</math> definiert ist.  
 
Die neue Funktion <math>\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}</math> ist für <math> x = 1 </math> mit dem Funktiionswert <math>\tilde f(1) = \frac{1}{3}</math> definiert. Man kann also die Funktion <math> f</math> in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von <math>\tilde f(1)=\frac{1}{3}</math>, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt. Die Funktion <math>\tilde f</math> ist identisch mit der Funktion <math>f</math>, nur dass sie auch noch für <math>x=1</math> definiert ist.  
  
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Im folgenden Applet wird die Funktion <math>f:x \rightarrow f(x) = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)^n} </math> dargestellt . <br>
 
Im folgenden Applet wird die Funktion <math>f:x \rightarrow f(x) = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)^n} </math> dargestellt . <br>
 
Variiere mit dem Schieberegler den Wert des Exponenten der Nennerpotenz. <br>
 
Variiere mit dem Schieberegler den Wert des Exponenten der Nennerpotenz. <br>

Aktuelle Version vom 6. April 2017, 09:21 Uhr

Einführung und Definition - Indirekte Proportionalität- Definitionsmenge - Nullstellen - hebbare Definitionslücken - Einfluss der Parameter - Polstellen - senkrechte Asymptoten - Asymptoten für x gegen unendlich

Die Funktion f:x\rightarrow \frac{x-1}{x^2+x-2} ist an den Nullstellen des Nenners n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1), also für x \not= -2; 1 nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm \frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2} so ist der gekürzte Term \frac{1}{x+2} für x = 1 erklärt mit dem Wert \frac{1}{3}. Man sagt, dass x=1 eine hebbare Definitionslücke ist.

Nuvola apps kig.png   Merke

Ist x_0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)} und existiert der Grenzwert \lim_{x \to x_0}{f(x)}, so nennt man x_0 eine hebbare Definitionslücke der Funktion f.

Die neue Funktion \tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2} ist für x = 1 mit dem Funktiionswert \tilde f(1) = \frac{1}{3} definiert. Man kann also die Funktion f in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von \tilde f(1)=\frac{1}{3}, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt. Die Funktion \tilde f ist identisch mit der Funktion f, nur dass sie auch noch für x=1 definiert ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Im folgenden Applet wird die Funktion f:x \rightarrow f(x) = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x-2)^n} dargestellt .
Variiere mit dem Schieberegler den Wert des Exponenten der Nennerpotenz.

Beobachte die Veränderungen für x=2 beim Variieren von n. Formuliere deine Beobachtung.

Für n = 4 ist x=2 nicht hebbare Definitionslücke. Der Graph hat an der Stelle x=2 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Für n = 3 ist x=2 nicht hebbare Definitionslücke. Der Graph hat an der Stelle x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Für n = 2 ist die Definitionslücke x=2 hebbar.

Ebenso sieht der Graph für n = 1 "durchgezeichnet" aus, x=2 ist eine hebbare Definitionslücke.

Tatsächlich ist aber für n = 2 oder n = 1 an der Stelle x = 2 ein Loch. Die Funktion f ist dort nicht definiert! Man kann f aber in x = 2 fortsetzen, dies macht die Funktion \tilde f.
Für n = 2 würde man am Graph den Wert \tilde f(2)=5 ablesen.

Für n = 1 würde man am Graph den Wert \tilde f(2)=0 ablesen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Gib jeweils für die Funktion f die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von f.

a) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

b) f mit f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}

c) f mit f(x) = \frac{1}{x+7}

d) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}

e) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}

f) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}

g) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}

a) x = 2 ist eine Definitionslücke; wegen \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 ist x=2 hebbare Definitionslücke mit \tilde f(2)=4.

b) x = 0; x = 2 sind Definitionslücken; wegen \frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2} ist x=0 hebbare Definitionslücke mit \tilde f(0)=-2.

c) x = -7 ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = -7 keine hebbare Definitionslücke.

d) x = 3 ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = 3 keine hebbare Definitionslücke.

e) x = -2 ist Definitinoslücke; wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2} ist x=-2 weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) x = 3 ist Definitionslücke; wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2) ist x=3 eine hebbare Definitionslücke mit \tilde f(3)=15.

g) x = 2; x = 3 sind Definitionslücken; wegen \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+2)}{x-2} eine hebbare Definitionslücke mit \tilde f(3)=15.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Ordne die hebbare bzw. nicht hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion f:x \rightarrow f(x) richtig zu!

f(x) = \frac{2x}{x-12} x=12 ist nicht hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x-3}{2x^2-6x} x=3 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-x}{x^2-1} x=1 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2} x=2 ist nicht hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-8x}{x^2-64} x=8 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12} x=3 ist nicht hebbare Definitionslücke.
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