M11 Ableitung der Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. März 2021, 16:44 Uhr

Zur Wiederholung:

1. Die Exponentialfunktion

2. Eigenschaften der Exponentialfunktion

3. Verschieben und Spiegeln der Exponentialfunktion

Merke:

Die Funktion $f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x$ (b ∈ R+\{0}, a ∈ R⁺) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.

Der Graph ist eine Exponentialkurve.

Für die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a geht man auf die Definition zurück:
$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0} b^x \cdot \frac{b^h -1}{h}=b^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}$

Merke:

Die Eulersche Zahl e ist definiert durch den Grenzwert $\lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}=1$ .

Dies hat zur Folge, dass die Exponentialfunktion zur Basis e $f:x\to e^x$ mit D = R und W = R⁺ die Ableitung

$f'(x)= e^x$ oder $(e^x)' = e^x$

hat.

Jede Funktion $F: x \to e^x + C$ ist Stammfunktion von $f$ .

Mit $a^x = e^{x \cdot ln(a)}$ und der Kettenregel erhält man

$(a^x)' = ln(a) \cdot a^x$ .

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die erste Ableitung
a) $f(x) = e^{2x}$
b) $f(x) = e^{x+1}$
c) $f(x) = e^{-3x}$
d) $f(x) = e^{sin(x)}$
e) $f(x) = 6e^{1-0,5x}$
f) $f(x) = xe^{x}$
g) $f(x) = x + \sqrt x$
h) $f(x) = \sqrt {e^x}$
i) $f(x) = e^{\sqrt x}$
j) $f(x) = (1-x)e^{2x}$
k) $f(x) = (x^2 + 1)e^{0,5x}$
l) $f(x) = \frac{x^2}{e^2}$
m) $f(x) = \frac{1}{e^x + 1}$
n) $f(x) = (x + e^x)^2$
o) $f(x) = e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2}$
p) $f(x) = e^{2x}$
q) $f(x) = x \cdot 10^x$
r) $f(x) = \sqrt {5^x} + x^5$
s) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
t) $f(x) = \frac{e^x -1}{e^x + 1}$
u) $f(x) = x^2 \cdot 3^{3x}$
v) $f(x) = x^3 + x^2$
w) $f(x) = x + sin(x)$
x) $f(x) = |x-1|$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Beachten Sie die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel.
a) $f'(x) = 2e^{2x}$
b) $f'(x) = e^{x+1}$
c) $f'(x) = -3e^{-3x}$
d) $f'(x) = cos(x)\cdot e^{sin(x)}$
e) $f'(x) = -3e^{1-0,5x}$
f) $f'(x) = e^{x} + x e^x = (x+1)e^x$
g) $f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}$
h) $f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt {e^x}}=\frac{1}{2}e^x$
Dies hätte man auch erhalten, wenn man $f(x) = \sqrt {e^x}= (e^x)^{\frac{1}{2}}$ ableitet.
i) $f'(x) = e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}$
j) $f'(x) = -1e^{2x} + 2(1-x)e^{2x}=(1-2x)e^{2x}$
k) $f'(x) = 2x e^{0,5x} + 0,5(x^2 + 1)e^{0,5x}=(0,5x^2 + 2x +0,5)e^{0,5x}$
l) $f'(x) = \frac{2x}{e^2}$ - Beachte e² ist eine Zahl und hier steht keine Exponentialfunktion!
m) $f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x + 1)^2}$
n) $f'(x) = 2(x + e^x)(1+e^x)$
o) $f'(x) = (e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2})=e^1 = 0$
p) $f(x) = 2e^{2x}$
q) $f'(x) = 1\cdot 10^x + x \cdot 10^x \cdot ln(10) = 10^x (1 + ln(10)x)$
r) $f'(x) = (\sqrt {5^x} + x^5)'=(5^{\frac{x}{2}} + x^5)' = (e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + x^5)'=\frac{ln(5)}{2 }e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + 5x^4=\frac{ln(5)}{2}\sqrt {5^x} + 5x^4$
s) $f'(x) = \frac{2x\cdot(x^2+1)-2x\cdot (x^2-1)}{(x^2 + 1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$
t) $f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)- e^x(e^x-1)}{(e^x + 1)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$
u) $f'(x) = 2x \cdot e^{3x}+3x^2e^{3x}$
v) $f'(x) = 3x^2 + 2x$
w) $f(x) = 1 + cos(x)$
x) $f(x) = |x-1|$

Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.

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 . [[M10_Verschieben_und_Spiegeln_der_Exponentialkurven|Verschieben und Spiegeln der Exponentialfunktion]]
+{{Merksatz|MERK=Die Funktion <math>f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x</math>  (b ∈ R+\{0}, a ∈ R<sup>+</sup>)  heißt '''Exponentialfunktion zur Basis a'''.
+<center>[[Datei:Exponentialfunktion 1.jpg|350px]]</center>
+Der Graph ist eine Exponentialkurve. }}
+Für die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a geht man auf die Definition zurück:<br>
+<math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0} b^x \cdot \frac{b^h -1}{h}=b^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}</math>
 {{Merksatz|MERK=Die Eulersche Zahl e ist definiert durch den Grenzwert <math>\lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}=1</math>.
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 Mit <math>a^x = e^{x \cdot ln(a)}</math> und der Kettenregel erhält man <br>
 <center><math> (a^x)' = ln(a) \cdot a^x</math>.</center>  }}
+{{Aufgaben-blau|1|2=Bestimmen Sie die erste Ableitung<br>
+a) <math>f(x) = e^{2x}</math><br>
+b) <math>f(x) = e^{x+1}</math><br>
+c) <math>f(x) = e^{-3x}</math><br>
+d) <math>f(x) = e^{sin(x)}</math><br>
+e) <math>f(x) = 6e^{1-0,5x}</math><br>
+f) <math>f(x) = xe^{x}</math><br>
+g) <math>f(x) = x + \sqrt x</math><br>
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+i) <math>f(x) = e^{\sqrt x}</math><br>
+j) <math>f(x) = (1-x)e^{2x}</math><br>
+k) <math>f(x) = (x^2 + 1)e^{0,5x}</math><br>
+l) <math>f(x) = \frac{x^2}{e^2}</math><br>
+m) <math>f(x) = \frac{1}{e^x + 1}</math><br>
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+v) <math>f(x) = x^3 + x^2</math><br>
+w) <math>f(x) = x + sin(x)</math><br>
+x) <math>f(x) = |x-1|</math> }}
+{{Lösung versteckt|1= Beachten Sie die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel. <br>
+a) <math>f'(x) = 2e^{2x}</math><br>
+b) <math>f'(x) = e^{x+1}</math><br>
+c) <math>f'(x) = -3e^{-3x}</math><br>
+d) <math>f'(x) = cos(x)\cdot e^{sin(x)}</math><br>
+e) <math>f'(x) = -3e^{1-0,5x}</math><br>
+f) <math>f'(x) = e^{x} + x e^x = (x+1)e^x</math><br>
+g) <math>f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}</math><br>
+h) <math>f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt {e^x}}=\frac{1}{2}e^x</math><br>
+Dies hätte man auch erhalten, wenn man <math>f(x) = \sqrt {e^x}= (e^x)^{\frac{1}{2}}</math> ableitet.<br>
+i) <math>f'(x) = e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}</math><br>
+j) <math>f'(x) = -1e^{2x} + 2(1-x)e^{2x}=(1-2x)e^{2x}</math><br>
+k) <math>f'(x) = 2x e^{0,5x} + 0,5(x^2 + 1)e^{0,5x}=(0,5x^2 + 2x +0,5)e^{0,5x}</math><br>
+l) <math>f'(x) = \frac{2x}{e^2} </math> -  Beachte e<sup>2</sup> ist eine Zahl und hier steht keine Exponentialfunktion!<br>
+m) <math>f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x + 1)^2}</math><br>
+n) <math>f'(x) = 2(x + e^x)(1+e^x)</math><br>
+o) <math>f'(x) = (e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2})=e^1 = 0</math><br>
+p) <math>f(x) = 2e^{2x}</math><br>
+q) <math>f'(x) =  1\cdot 10^x + x \cdot 10^x \cdot ln(10) = 10^x (1 + ln(10)x)</math><br>
+r) <math>f'(x) = (\sqrt {5^x} + x^5)'=(5^{\frac{x}{2}} + x^5)' = (e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + x^5)'=\frac{ln(5)}{2 }e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + 5x^4=\frac{ln(5)}{2}\sqrt {5^x} + 5x^4 </math><br>
+s) <math>f'(x) = \frac{2x\cdot(x^2+1)-2x\cdot (x^2-1)}{(x^2 + 1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}</math><br>
+t) <math>f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)- e^x(e^x-1)}{(e^x + 1)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}</math><br>
+u) <math>f'(x) = 2x \cdot e^{3x}+3x^2e^{3x}</math><br>
+v) <math>f'(x) = 3x^2 + 2x</math><br>
+w) <math>f(x) = 1 + cos(x)</math><br>
+x) <math>f(x) = |x-1|</math> <br>
+Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.}}

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