Umkehrfunktion Definitions- und Wertemenge: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ist in der Lösung mit <math> g </math> bezeichnet. | {{Lösung versteckt|Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ist in der Lösung mit <math> g </math> bezeichnet. | ||
| − | a) [[Bild:Funktion_umkf_bspl_3.jpg]] | + | a) Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = R \setminus \{ 0\}</math> und <math>W = R \setminus \{ 1\}</math>. |
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| + | [[Bild:Funktion_umkf_bspl_3.jpg]] | ||
<math> y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}</math>, also <math>f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}</math>. | <math> y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}</math>, also <math>f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}</math>. | ||
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Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = R \setminus \{ 1\}</math> und <math>W^{-1} = R \setminus \{ 0\}</math>. | Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = R \setminus \{ 1\}</math> und <math>W^{-1} = R \setminus \{ 0\}</math>. | ||
| − | b) Die Funktion <math>f</math> muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast <math>x \in [0; \infty[</math>. | + | b) Die Funktion <math>f</math> muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast <math>x \in [0; \infty[</math>. |
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| − | <math> | + | Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = [0; \infty[</math> und <math>W = ]-\infty;2]</math>. |
| + | [[Bild:Funktion_umkf_bspl_6.jpg]] | ||
| − | + | <math> y = 2 - x^2 \Longrightarrow x = 2 - y^2 \Longrightarrow y = sqrt{2-x}</math>, also also <math>f^{-1}: x \rightarrow sqrt{2-x}</math>. | |
Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = ]-\infty;2]</math> und <math>W^{-1} = [0; \infty[</math>. | Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = ]-\infty;2]</math> und <math>W^{-1} = [0; \infty[</math>. | ||
Version vom 23. Mai 2012, 13:46 Uhr
Startseite - Wertetabelle - Graph - Term - Beispiele - Definitions- und Wertemenge - Monotoniekriterium
Im letzten Beispiel war nicht eindeutig, wie man die umgekehrte Zuordnung machen soll.
Man entscheidet sich für einen Weg, entweder nach links oder nach rechts. Wir gehen nach rechts und ignorieren den linken Teil der Parabel.
Man gehen davon aus, dass als Werte nur nicht negative Zahlen in Betracht kommen. Dies schränkt die Definitionsmenge der Funktions 
ein. Es ist dann 
.
Mit dieser Einschränkung der Definitionsmenge ist die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig und damit eine Funktion.
Auf diesen Seiten wird dies nochmals erklärt:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion
Alle Potenzfunktionen sind für 
definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für 
umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht.
Hat man die Definitionsmenge 
der Funktion 
so eingeschränkt, dass die Umkehrung eine Funktion ist, dann gilt für die Definitionsmenge 
und Wertemenge 
der Umkehrfunktion 
:
= 
und = .
| Funktion
|
Funktion
| |
| Definitionsmenge |
|
|
| Wertemenge |
|
|
Dabei sind und die Definitions- und Wertemenge der eingeschränkten Funktion .
30px Aufgabe
Gib für die Funktion |
Die Umkehrfunktion ist in der Lösung mit 
bezeichnet.
a) Für die Funktion ist 
und 
.
, also 
.
Die Umkehrfunktion hat 
und 
.
b) Die Funktion muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast 
.
Für die Funktion ist 
und ![W = ]-\infty;2]](/images/math/5/8/5/5851fda1d294c4d3288eb2a90b44b6b9.png)
.
, also also 
.
Die Umkehrfunktion hat ![D^{-1} = ]-\infty;2]](/images/math/c/1/f/c1f7344d24af0b1699f64b8d282fa700.png)
und 
.
Ein einfaches Kriterium,wie man feststellt, dass eine Funktion umkehrbar ist, ist das Monotoniekriterium .
