M11 Ableitung der Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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x) <math>f(x) = |x-1|</math> <br>
 
x) <math>f(x) = |x-1|</math> <br>
 
Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.}}
 
Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.}}
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{{Aufgaben-blau|2|2=Ordnen Sie dem Term f(x) eine passende Stammfunktion F(x) zu bzw. umkehrt der Stammfunktion F(x) eine passende Funktion f(x). }}
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<div class="zuordnungs-quiz">
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| <math>f(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x}</math> || <math>F(x) = (e^x + e^{-x})^2</math>
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| <math>f(x) = 1-\frac{1}{e^x}</math> || <math>F(x) = x + e^{-x}</math>
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| <math> f(x) = e^2 \cdot e^x</math> || <math>F(x) = e^{x+2}</math>
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| <math>f(x) = 3x^2 + e^{3x}</math> || <math>F(x) = x^3 + \frac{1}{3}e^{3x}</math>
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|}
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</div>
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{{Aufgaben-blau|3|2=Geben Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktion f an<br>
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a) f(x) = e<sup>x</sup> + 1<br>
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b) f(x) = e<sup>-x</sup><br>
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c) f(x) = 0,5(e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup>)<br>
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d) f(x) = x + 2 + e<sup>x+2</sup><br>
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e) f(x) = e<sup>1+x</sup><br>
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f) f(x) = e<sup>0,5x</sup> }}
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{{Lösung versteckt|1=a) F(x) = e<sup>x</sup> + x + C<br>
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b) F(x) = -e<sup>-x</sup> + C<br>
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c) F(x) = 0,5(e<sup>x</sup> - e<sup>-x</sup>) + C<br>
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d) F(x) = 0,5x<sup>2</sup> + 2x + e<sup>x+2</sup> + C<br>
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e) F(x) = e<sup>1+x</sup> + C<br>
 +
f) F(x) = 2e<sup>0,5x</sup> + C  }}

Version vom 18. März 2021, 17:15 Uhr

Zur Wiederholung:

1. Die Exponentialfunktion

2. Eigenschaften der Exponentialfunktion

3. Verschieben und Spiegeln der Exponentialfunktion

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Funktion f: R \rightarrow R, f(x) = b\cdot a^x (b ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a.

Exponentialfunktion 1.jpg

Der Graph ist eine Exponentialkurve.

Für die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a geht man auf die Definition zurück:
f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0} b^x \cdot \frac{b^h -1}{h}=b^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Eulersche Zahl e ist definiert durch den Grenzwert \lim_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h}=1.

Dies hat zur Folge, dass die Exponentialfunktion zur Basis e f:x\to e^x mit D = R und W = R+ die Ableitung

f'(x)= e^x oder (e^x)' = e^x

hat.

Jede Funktion F: x \to e^x + C ist Stammfunktion von f.


Mit a^x = e^{x \cdot ln(a)} und der Kettenregel erhält man

(a^x)' = ln(a) \cdot a^x.


30px   Aufgabe 1

Bestimmen Sie die erste Ableitung
a) f(x) = e^{2x}
b) f(x) = e^{x+1}
c) f(x) = e^{-3x}
d) f(x) = e^{sin(x)}
e) f(x) = 6e^{1-0,5x}
f) f(x) = xe^{x}
g) f(x) = x + \sqrt x
h) f(x) = \sqrt {e^x}
i) f(x) = e^{\sqrt x}
j) f(x) = (1-x)e^{2x}
k) f(x) = (x^2 + 1)e^{0,5x}
l) f(x) = \frac{x^2}{e^2}
m) f(x) = \frac{1}{e^x + 1}
n) f(x) = (x + e^x)^2
o) f(x) = e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2}
p) f(x) = e^{2x}
q) f(x) = x \cdot 10^x
r) f(x) = \sqrt {5^x} + x^5
s) f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}
t) f(x) = \frac{e^x -1}{e^x + 1}
u) f(x) = x^2 \cdot 3^{3x}
v) f(x) = x^3 + x^2
w) f(x) = x + sin(x)
x) f(x) = |x-1|

Beachten Sie die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel.
a) f'(x) = 2e^{2x}
b) f'(x) = e^{x+1}
c) f'(x) = -3e^{-3x}
d) f'(x) = cos(x)\cdot e^{sin(x)}
e) f'(x) = -3e^{1-0,5x}
f) f'(x) = e^{x} + x e^x = (x+1)e^x
g) f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}
h) f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt {e^x}}=\frac{1}{2}e^x
Dies hätte man auch erhalten, wenn man f(x) = \sqrt {e^x}= (e^x)^{\frac{1}{2}} ableitet.
i) f'(x) = e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}
j) f'(x) = -1e^{2x} + 2(1-x)e^{2x}=(1-2x)e^{2x}
k) f'(x) = 2x e^{0,5x} + 0,5(x^2 + 1)e^{0,5x}=(0,5x^2 + 2x +0,5)e^{0,5x}
l) f'(x) = \frac{2x}{e^2} - Beachte e2 ist eine Zahl und hier steht keine Exponentialfunktion!
m) f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x + 1)^2}
n) f'(x) = 2(x + e^x)(1+e^x)
o) f'(x) = (e^{(sin(x))^2 + (cos(x))^2})=e^1 = 0
p) f(x) = 2e^{2x}
q) f'(x) = 1\cdot 10^x + x \cdot 10^x \cdot ln(10) = 10^x (1 + ln(10)x)
r) f'(x) = (\sqrt {5^x} + x^5)'=(5^{\frac{x}{2}} + x^5)' = (e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + x^5)'=\frac{ln(5)}{2 }e^{ln(5)\cdot \frac{x}{2}} + 5x^4=\frac{ln(5)}{2}\sqrt {5^x} + 5x^4
s) f'(x) = \frac{2x\cdot(x^2+1)-2x\cdot (x^2-1)}{(x^2 + 1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}
t) f'(x) = \frac{e^x(e^x+1)- e^x(e^x-1)}{(e^x + 1)^2}=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}
u) f'(x) = 2x \cdot e^{3x}+3x^2e^{3x}
v) f'(x) = 3x^2 + 2x
w) f(x) = 1 + cos(x)
x) f(x) = |x-1|

Bei x = 1 hat die Funktion einen Knick. Für x < 1 ist f(x) = -x + 1 und f'(x) = -1; für x < 1 ist f(x) = x -1 und f'(x) = 1.


30px   Aufgabe 2

Ordnen Sie dem Term f(x) eine passende Stammfunktion F(x) zu bzw. umkehrt der Stammfunktion F(x) eine passende Funktion f(x).

f(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x} F(x) = (e^x + e^{-x})^2
f(x) = 1-\frac{1}{e^x} F(x) = x + e^{-x}
f(x) = e^2 \cdot e^x F(x) = e^{x+2}
f(x) = 3x^2 + e^{3x} F(x) = x^3 + \frac{1}{3}e^{3x}


30px   Aufgabe 3

Geben Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktion f an
a) f(x) = ex + 1
b) f(x) = e-x
c) f(x) = 0,5(ex + e-x)
d) f(x) = x + 2 + ex+2
e) f(x) = e1+x
f) f(x) = e0,5x

a) F(x) = ex + x + C
b) F(x) = -e-x + C
c) F(x) = 0,5(ex - e-x) + C
d) F(x) = 0,5x2 + 2x + ex+2 + C
e) F(x) = e1+x + C

f) F(x) = 2e0,5x + C
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