Umkehrfunktion Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Mai 2012, 19:05 Uhr

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Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".

30px Aufgabe

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Ist eine Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.

30px Aufgabe

Betrachte nun die Quadratfunktion $f: x\rightarrow x^2$ mit $D = R$ .

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Die Quadratfunktion ist im Intervall $]-\infty;0]$ streng monoton abnehmend und im Intervall $[0;\infty[$ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast für $x \in ]-\infty;0]$ umkehrbar
. Der rechte Ast ist für $x \in [0;\infty[$ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^-_0$ und $W = R^+_0$ .
Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^-_0$ .

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^+_0$ und $W = R^+_0$
Die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \rightarrow sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^+_0$ .

30px Aufgabe

Betrachte nun die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^3$ .

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion $f$ .

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $D = R$ , $W = R$

2.

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz $R$ .

4. $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x$ mit $D^{-1} = R$ , $W^{-1} = R$

Merke

1. Potenzfunktionen $f: x \rightarrow x^n$ mit ungeraden Exponenten $n$ sind in $R$ umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R$ , $W^{-1} = R$ .

2. Potenzfuntkionen $f: x \rightarrow x^n$ mit geraden Exponenten $n$ sind in $R$ nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf $R^+_0$ .

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ , $W^{-1} = R^+_0$ .

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 Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R^+_0</math>, <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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