Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet

Einführung und Definition - Indirekte Proportionalität- Definitionsmenge - Nullstellen - hebbare Definitionslücken - Einfluss der Parameter - Polstellen - senkrechte Asymptoten - Asymptoten für x gegen unendlich

---

Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.

  Aufgabe 1

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte $x\cdot y$. Was stellst du fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg

b)
http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg

c) Es ist immer $x\cdot y = 24$.

Merke Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt $x\cdot y$ für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also $x\cdot y = m$.

In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion $f: x \rightarrow \frac{24}{x}$ allgemein für alle reellen Zahlen $x \not = 0$ erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg
Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.

Merke Die Funktion $f:x \rightarrow \frac{m}{x}$ mit einer reellen Zahl $m \not = 0$ heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.

  Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge $R$\{$0$}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch $R$\{$0$}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

  Aufgabe 3

a) Stelle in diesem Applet

den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$ angezeigt wird.

b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{24}{x}$ aus dem Graphen der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) m = 24

b) Jeder y-Wert der Funktion $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von $f:x \rightarrow \frac{1}{x}$ wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable $x$ vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion $f$ auch andere Terme mit $x$ vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von rationalen Funktionen.

---

Internetlinks:

Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.

Alles über Hyperbeln