Umkehrfunktion Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. April 2021, 10:55 Uhr

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Merke

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".

Aufgabe 1

Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser Seite.

Merke

Ist eine Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.

Aufgabe 2

Betrachte nun die Quadratfunktion $f: x\rightarrow x^2$ mit $D = R$ .

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Die Quadratfunktion ist im Intervall $]-\infty;0]$ streng monoton abnehmend und im Intervall $[0;\infty[$ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast ist für $x \in ]-\infty;0]$ umkehrbar
. Der rechte Ast ist für $x \in [0;\infty[$ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^-_0$ und $W = R^+_0$ .
Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^-_0$ .

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion $f$ eingeschränkt mit $D = R^+_0$ und $W = R^+_0$
Die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^+_0$ .

Aufgabe 3

Betrachte nun die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^3$ .

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion $f$ .

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $D = R$ , $W = R$

2.

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz $R$ .

4. $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x$ mit $D^{-1} = R$ , $W^{-1} = R$

Merke

1. Potenzfunktionen $f: x \rightarrow x^n$ mit ungeraden Exponenten $n$ sind in $R$ umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R$ , $W^{-1} = R$ .

2. Potenzfuntkionen $f: x \rightarrow x^n$ mit geraden Exponenten $n$ sind in $R$ nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf $R^+_0$ .

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ , $W^{-1} = R^+_0$ .

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-{{Aufgabe|
+{{Aufgaben-blau|1|2=Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser [[Monotonie_Test|Seite]].
+}}
-Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! Betrachte stets den Funktionsgraph im Intervall [1;4].
+{{Merke|
+Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.
 }}
-<div class="multiplechoice-quiz">
-[[Bild:Monotonie_f1.jpg‎|200px]]
-(streng monoton steigend)  (!streng monoton fallend) (!weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f2.jpg‎|200px]]
+{{Aufgaben-blau|2|2=Betrachte nun die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math>.
-(!streng monoton steigend)  (streng monoton fallend) (!weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f5.jpg‎|200px]]
+. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?
-(!streng monoton steigend)  (!streng monoton fallend) (weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f3.jpg‎|200px]]
+. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?
-(!streng monoton steigend)  (streng monoton fallend) (!weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f6.jpg‎|200px]]
+. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.
-(streng monoton steigend)  (!streng monoton fallend) (!weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f4.jpg‎|200px]]
+}}
-(!streng monoton steigend)  (!streng monoton fallend) (weder noch)
-[[Bild:Monotonie_f7.jpg‎|200px]]
+{{Lösung versteckt|
-(streng monoton steigend)  (!streng monoton fallend) (!weder noch)
+. Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
-</div>
+. Der linke Ast ist für <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>.
+Der rechte Ast ist für <math>x \in [0;\infty[</math> auch umkehrbar.
+. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
+Die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x </math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
+[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
-{{Merke|
+. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
-Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.
+Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
+[[Bild:Umkfkt_quafkt_+.jpg]]
 }}
+{{Aufgaben-blau|3|2=Betrachte nun die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^3</math>.
+. Gib Definitions- und Wertemenge an.
-{{Aufgabe|Wo ist die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math> umkehrbar?
+. Zeichne den Graphen der Funktion <math>f</math>.
-Gib jeweils die Umkehrfunktion an.}}
+. Wo ist die Funktion streng monoton?
-{{Lösung versteckt|Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
+. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.
+}}
-Somit ist der linke Ast <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>
+{{Lösung versteckt|
-und der rechte Ast <math>x \in [0;\infty[</math> ist ebenso umkehrbar.
+. <math> D = R</math>, <math>W = R</math>
-Für den linken Ast ist <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
+. [[Bild:Umkfkt_kubikfkt.jpg]]
-Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
+. F ist streng monoton zunehmend in ganz <math>R</math>.
+. <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>
-Für den rechten Ast ist <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
-Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
 }}
+{{Merke|
+. Potenzfunktionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit ungeraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> umkehrbar.
+Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>.
+. Potenzfuntkionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit geraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf <math>R^+_0</math>.
+Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R^+_0</math>, <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
+}}
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