Umkehrfunktion Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(3 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 17: Zeile 17:
  
  
−
{{Aufgabe|
+
{{Aufgaben-blau|1|2=Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser [[Monotonie_Test|Seite]].
−
 
+
−
Teste dein Wissen auf dieser [[Monotonie_Test|Seite]]
+
 
}}
 
}}
  
Zeile 30: Zeile 28:
  
  
−
{{Aufgabe|Betrachte nun die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math>.
+
{{Aufgaben-blau|2|2=Betrachte nun die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math>.
  
 
1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?
 
1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?
Zeile 43: Zeile 41:
 
1. Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
 
1. Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
  
−
2. Der linke Ast für <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>.
+
2. Der linke Ast ist für <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>.
 
Der rechte Ast ist für <math>x \in [0;\infty[</math> auch umkehrbar.
 
Der rechte Ast ist für <math>x \in [0;\infty[</math> auch umkehrbar.
  
 
3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
 
3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
−
Die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
+
Die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x </math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
  
 
[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
 
[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
  
 
3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
 
3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
−
Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
+
Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
  
 
[[Bild:Umkfkt_quafkt_+.jpg]]
 
[[Bild:Umkfkt_quafkt_+.jpg]]
 
}}
 
}}
  
−
{{Aufgabe|Betrachte nun die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^3</math>.
+
{{Aufgaben-blau|3|2=Betrachte nun die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^3</math>.
  
 
1. Gib Definitions- und Wertemenge an.
 
1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

Aktuelle Version vom 23. April 2021, 10:55 Uhr

Startseite - Wertetabelle - Graph - Term - Beispiele - Definitions- und Wertemenge - Monotoniekriterium


Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktion f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser Seite.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ist eine Funktion f im Intervall [a;b] streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Betrachte nun die Quadratfunktion f: x\rightarrow x^2 mit D = R.

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.

1. Die Quadratfunktion ist im Intervall ]-\infty;0] streng monoton abnehmend und im Intervall [0;\infty[ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast ist für x \in ]-\infty;0] umkehrbar
. Der rechte Ast ist für x \in [0;\infty[ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^-_0 und W = R^+_0.
Die Umkehrfunktion ist f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^-_0.

Umkfkt quafkt -.jpg

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^+_0 und W = R^+_0
Die Umkehrfunktion f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^+_0.

Umkfkt quafkt +.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Betrachte nun die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^3.

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion f.

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

1. D = R, W = R

2. Umkfkt kubikfkt.jpg

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz R.

4. f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R

Nuvola apps kig.png   Merke

1. Potenzfunktionen f: x \rightarrow x^n mit ungeraden Exponenten n sind in R umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R.

2. Potenzfuntkionen f: x \rightarrow x^n mit geraden Exponenten n sind in R nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf R^+_0.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R^+_0, W^{-1} = R^+_0.


Zurück zur Startseite - Wertetabelle - Graph - Term - Beispiele - Definitions- und Wertemenge - Monotoniekriterium

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=Umkehrfunktion_Monotonie&oldid=11842“