Umkehrfunktion Monotonie

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Eine Funktion  f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktion  f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle  x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".


30px   Aufgabe


Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! Betrachte stets den Funktionsgraph im Intervall [1;4].

Monotonie f1.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f2.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f5.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f3.jpg (!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f6.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Monotonie f4.jpg (!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

Monotonie f7.jpg (streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)


Nuvola apps kig.png   Merke

Ist eine Funktion  f im Intervall [a;b] streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.


30px   Aufgabe

Wo ist die Quadratfunktion  f: x\rightarrow x^2 mit D = R umkehrbar?

Gib jeweils die Umkehrfunktion an.

Die Quadratfunktion ist im Intervall ]-\infty;0] streng monoton abnehmend und im Intervall  [0;\infty[ streng monoton zunehmend.

Somit ist der linke Ast x \in ]-\infty;0] umkehrbar
und der rechte Ast x \in [0;\infty[ ist ebenso umkehrbar.

Für den linken Ast ist D = R^-_0 und  W = R^+_0.
Umkehrfunktion f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^-_0.

Für den rechten Ast ist D = R^+_0 und  W = R^+_0
Umkehrfunktion f^{-1}:x \rightarrow sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^+_0.